¿Qué son las matemáticas: un modelo de la realidad o la realidad misma?

Pensemos en Neptuno. ¿Por qué? Porque, a simple vista, es invisible.

Incluso con un telescopio de los buenos, ubicado a ‎4.300.000.000 kilómetros de distancia, el 8º planeta de nuestro Sistema Solar a duras penas se ve como un pequeño puntito blanco.

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Es por eso que los planetas que están más cerca de la Tierra, como Venus o Saturno, brillan tanto en el cielo nocturno que nos han maravillado desde la antigüedad.

En contraste, de la existencia de Neptuno nos vinimos a enterar apenas en el siglo XIX.

Pero el hallazgo fue doblemente significativo.

No solo encontramos otro vecino, sino que "Neptuno marcó la exploración del Sistema Solar, pues no fue hallado mirando al cielo con nuestros ojos ni con la ayuda de un telescopio; fue encontrado gracias a las matemáticas", señala la astrofísica Lucie Green.

Urano y Neptuno

En el siglo XIX, las leyes de gravedad de Newton se entendían bien y con ellas se podían predecir las órbitas de los planetas alrededor del Sol... excepto, la de Urano, que se desvía ligeramente del camino previsto.

En ese momento, Urano era el planeta conocido más alejado del Sol y hubo quienes especularon que quizás las leyes de gravedad de Newton no funcionaban a una distancia tan grande.

Pero otros confiaron en las matemáticas, lo que los llevó a pensar que tenía que haber otro objeto masivo que, con su fuerza de gravedad, estuviera alterando la ruta de Urano alrededor del Sol.

Calcularon qué, cómo y dónde, “y cuando giraron el telescopio hacia el área que las matemáticas indicaron, se encontró el planeta”, cuenta Green.

El descubrimiento de Neptuno ha pasado a la historia como un testimonio de que las matemáticas no las inventamos, sino que existen.

Y eso es precisamente algo que intrigaba al oyente del programa de la BBC CrowdScience, Sergio Huarcaya, de Perú. Así que envió su pregunta: "¿Cuál es la relación de las matemáticas con la realidad?".

Sí, este es un artículo para leer con calma y al menos una taza de café (o dos), así que acomódate y deja que tu mente se entretenga.

“Mi pregunta tiene que ver con el poder de predicción de las matemáticas”, aclaró Sergio.

"Desde Galileo, quien pudo predecir la velocidad de una bola rodando por una pendiente, hasta, por ejemplo, la existencia del bosón de Higgs, que fue predicha con matemáticas antes de encontrar la partícula en la realidad, ese poder de predecir la existencia de cosas que no han sido vistas me parece asombroso".

Eso lo llevó a la pregunta.

“¿Son las matemáticas un modelo, una descripción, una metáfora de la realidad... o son la realidad misma?”.

Sergio no está solo. Los filósofos han reflexionado sobre estas ideas durante miles de años. Y la pregunta sigue siendo motivo de profundos desacuerdos.

Así que no te garantizamos respuestas definitivas, pero sí una interesante búsqueda.

No existe un pastel negativo

Es casi seguro que los humanos comenzamos a jugar con las matemáticas por razones mundanas, como contar y medir cosas, así que empecemos por ahí.

Y acompañemos tu café con un pastel.

Las matemáticas nos pueden decir toda clase de cosas sobre ese pastel: sus dimensiones, su peso, cómo dividirlo... todo muy tangible.

Y el pastel nos puede mostrar que las matemáticas pueden ir a donde la realidad no llega.

Si te comes ¹/₃ del pastel, te quedan ²/₃. Hasta ahí todo bien y sencillo. Y si sigues comiendo otro tercio y otro más, te quedas sin nada.

"Estamos describiendo las contorciones mentales de los antiguos", señala Alex Bellos, autor de libros matemáticos. "Usaban matemáticas prácticas, para medir y contar, y no llegaron a los números negativos".

Si tu concepto de la realidad consiste en objetos que puedes medir o contar, es difícil imaginar algo que sea menos de 0. Apenas te comas las moronas del pastel, se acabó: no existe un pastel negativo.

Sin embargo, dice Bellos, "hay un ámbito en el que sí usas números negativos y es completamente natural pensar en ellos".

Bellos se refiere al dinero: "Puedes tener dinero pero también puedes deber dinero".

"El primer uso práctico de los números negativos fue en el contexto de cuentas y deudas".

Si tú debes US$5 y yo te doy esa cantidad, tendrás US$0. Esa es una realidad que empieza con números negativos.

Hoy en día, es difícil pensar en las matemáticas sin ellos y no solo en términos de deudas.

Hasta aquí, seguimos arraigados a la realidad.

Pero hay cosas extrañas que suceden cuando juegas con los números negativos.

Tremendo enigma

Si multiplicas dos de ellos, el resultado es un número positivo. Así que -1 x -1 = 1, y eso trae consigo un verdadero enigma.

"Si empiezas a jugar con ecuaciones que tienen tanto números negativos como positivos, llegarás a que:

"¿Qué diablos es eso? ¡Cómo vas a encontrar algo que cuando lo eleves al cuadrado sea igual a -1!", exclama Bellos.

"No puede ser un número positivo, porque cuando los elevas al cuadrado -o los multiplicas por ellos mismos- el resultado es un número positivo; ni puede ser un número negativo, por la misma razón", dice.

"Cuando se llegó a eso por primera vez, la gente pensó que era absurdo".

"Pero, poco a poco, los matemáticos dijeron: 'Sí, es absurdo, pero cuando lo uso en mi trabajo, obtengo la respuesta correcta. Dejémosle a los filósofos el problema de qué puede ser. Nosotros, los matemáticos necesitamos respuestas y, si nos ayuda a encontrarlas, está bien'", explica.

Y acabamos de dejar la realidad. Pero, en todo caso, las matemáticas siguen sirviendo para explicarla.

Lo imaginario

"La raíz cuadrada de -1 se llama 'número imaginario', que es un nombre terrible pues te da la impresión de que las matemáticas eran reales y de repente se fueron a lo imaginario", dice Bellos.

“No, las matemáticas son imaginarias desde el principio. Podemos hablar de tres pasteles, pero lo que estamos viendo son pasteles, no estamos viendo ‘tres’: el tres mismo es una abstracción”, subraya.

"Es lo mismo que cuando tienes números imaginarios. Parece totalmente loco, pero una vez empiezas a entender cómo encajan, es tan lógico, y el comportamiento de los que llamamos 'números reales' con los que llamamos 'números imaginarios' juntos, a los que llamamos 'números complejos', es un lenguaje brillante para describir cosas como las rotaciones.

“Hoy en día, la raíz cuadrada de -1 es tan real como el -1”, aunque nos parezca tan difícil de entender como le debió haber parecido a nuestros antepasados cuando surgieron los números negativos.

No te alarmes

Si te perdiste, no te preocupes, sigue leyendo y todo se aclarará. En serio.

Esos números complejos, inventados por matemáticos que juegan con ecuaciones, resultaron increíblemente prácticos para comprender la realidad.

Son una herramienta en casi cualquier cosa que implique rotación u ondas. Se usan en ingeniería eléctrica, están en los reproductores de música, radares, imágenes médicas y la comprensión del comportamiento de partículas fundamentales.

¿Cómo puede ser que algo que parece existir solo en sueños matemáticos termine siendo tan útil en el mundo real?

Para algunos, como el físico húngaro del siglo XX Eugene Wigner, es casi un milagro.

Wigner se refirió a los números complejos en un influyente ensayo de 1960, llamado “la efectividad irracional de las matemáticas en las ciencias naturales”.

¡Eficacia irracional!

Pero, un momento: si las matemáticas son diseñadas por los humanos precisamente para describir la realidad, ¿no es lógico que sirvan para hacerlo? ¿Qué tiene eso de irracional?

Recurramos a alguien que se mueve entre los ámbitos de la filosofía y de las matemáticas: la filósofa de la física Eleanor Knox.

"Es cierto que, si inventamos las matemáticas para que nos ayuden a entender los sistemas físicos, tiene mucho sentido que lo haga", dice.

"Pero las matemáticas no parecen haberse desarrollado así -continúa- y no siempre funcionan de esa manera. Hay muchos casos en los que los matemáticos han hecho algo solo porque les interesa y resulta ser exactamente lo que se necesita en algún momento posterior para un descubrimiento físico crucial".

“Un ejemplo famoso es la geometría no euclidiana”, dice Knox, refiriéndose a una rama de la geometría en la que trabajaban muchos matemáticos a fines del siglo XIX, sobre todo porque les parecía interesante.

“Se pensaba que todo nuestro mundo se podía describir con la geometría de Euclides, esa que aprendes en la escuela”, esa que establece “las reglas sobre ángulos rectos, los ángulos de un triángulo suman 180º, etcétera”.

Y esos matemáticos del 1800 no estaban en pos de tumbar la geometría euclidiana. Sencillamente estaban explorando y, saliéndose de los límites, encontraron estructuras matemáticas interesantes.

“En el siglo XX, cuando Albert Einstein necesitaba una teoría para describir las reglas de espacio y tiempo para la relatividad general, lo que le sirvió fue esa geometría no euclidiana. No podría haberlo logrado sin ella”, explica Knox.

"Hoy en día pensamos que el mundo tiene la estructura de esa geometría que entonces era extraña, pero ninguno de los matemáticos que comenzaron a trabajar en ella predijeron ese descubrimiento en particular", concluye la filósofa.

Por casos como ese, a veces parece que, si no milagrosa, la relación de las matemáticas con la realidad es al menos asombrosa.

La realidad fundamental

A medida que avanza la física moderna, es difícil para los que somos simples mortales comprender las complicadas matemáticas y la extraña realidad que describen.

Pero tal vez eso no sea sorprendente: no hay ninguna razón por la cual la realidad cotidiana que podemos percibir con nuestros sentidos sea la realidad fundamental del universo.

Lo que sí es sorprendente es que con las matemáticas parece posible explorar mucho más de lo que nuestros sentidos permiten.

Sin embargo, en la búsqueda de una realidad fundamental, ¿será que las matemáticas alcanzarán un límite en su capacidad para describirla?

"El siglo XX nos dio dos de nuestras teorías físicas más exitosas: la de la mecánica cuántica (el mundo a escala de lo ultra pequeño, de los átomos y subátomos) y la de la relatividad general", dice Knox.

"Resulta que lograr que las matemáticas de esas dos teorías funcionen juntas es increíblemente complicado.

"No contamos con un marco coherente para comprender cómo estas dos teorías pueden existir en el mismo mundo, cómo pueden describir la misma realidad", continúa.

"Para intentar hacerlo, hay que pasar a niveles de complejidad aturdidores y sin poder, por el momento, conectar lo que estás pensando con experimentos".

Sin embargo, como ya nos explicaron, mucho ha empezado así: como una idea en busca de su función práctica.

O, ¿será que hemos llegado a ese límite?

"En este punto, quizás uno podría concluir que hasta ahora hemos sido muy, muy afortunados de que las matemáticas describieran nuestro universo", dice Knox.

"Otra opción es pensar que las matemáticas describen parches del mundo, no su totalidad".

O, que la totalidad del mundo es realmente complicada.

"O que las matemáticas son endiabladamente complicadas y nos superan... o que simplemente aún no no hemos entendido pero llegaremos a entender", dice Knox.

Una gran diferencia

Tal vez no debería sorprendernos que a veces sea endemoniadamente difícil lograr que las leyes de las matemáticas coincidan con las leyes de la realidad física. Después de todo, no son lo mismo.

Como dijo Einstein: “Cuanto más refieren a la realidad, las leyes matemáticas se vuelven inciertas; y cuanto más certeras son, menos se refieren a la realidad”.

Knox explica: "Las matemáticas tiene una característica particular: son absolutamente ciertas o falsas. Si yo pruebo algo en matemáticas, nadie puede dudar de ese hecho. Las leyes físicas no son así. Esa es una de las grandes distinciones".

"Frecuentemente nos hemos equivocado con nuestras leyes. Las leyes de Newton son bellas, elegantes y en ciertos casos válidas, pero no son toda la verdad. Sin duda en el futuro se probará que las leyes de Einstein también son aproximadas", predice la filósofa de física.

¿Se descubren o se inventan?

Recapitulemos para no perdernos:

• Las ecuaciones matemáticas pueden explicar muchas de las teorías de la física que tenemos hoy. Pero, aún no sabemos todas las respuestas.
• Que 2 + 2 = 4 siempre será cierto, mientras que la gravedad de Newton era cierta hasta que Einstein apareció y la refinó.
• Hay aspectos de la física que aún no entendemos.

¿Habrá matemáticas para explicar lo que falta y que esperan a ser descubiertas, como pasó con los números imaginarios?

Aunque "descubiertas" implicaría que hay un universo matemático esperando a ser explorado, cuando quizás es algo que nos inventamos.

Lo que nos lleva de vuelta al enigma: ¿de dónde vienen las matemáticas?

Esta es una pregunta para un matemático (increíblemente hemos llegado casi al final sin consultar a uno, pero definitivamente necesitamos uno ahora).

Eugenia Cheng es matemática y científica residente en la Escuela del Instituto de Arte de Chicago. Ella nos puede responder si las matemáticas son algo que se descubre o inventa.

"Genuinamente siento que descubro conceptos e invento formas de pensar sobre ellos. Cuando hago investigación abstracta siento que estoy deambulando por una jungla abstracta en busca de cosas, y luego invento una manera de hablar y teorizar sobre ellas para poder organizar mis pensamientos y comunicarlos", dice.

"La parte que más me gusta es deambular por ese mundo abstracto para ver qué encuentro. Y claro que ese mundo está en mi imaginación, pero se siente muy inherente como si no lo hubiera hecho sino que ya estaba ahí", reconoce.

Cheng trabaja en el campo de la teoría de categorías (a veces llamada "las matemáticas de las matemáticas"), que trata de construir puentes entre diferentes áreas de las matemáticas.

Es difícil pensar en algo más abstracto, así que le preguntamos si siente que las matemáticas que estudia se relacionan con la realidad: “Cuando la gente me pregunta sobre la realidad, quiero responder: ¿qué es real de todos modos?”.

“La gente dice que los números no son reales, porque no puedes tocarlos. Pero hay muchas cosas que son reales pero no puedo tocar, como el hambre”, ejemplifica.

"Por eso prefiero hablar de cosas concretas -las que podemos tocar y con las que podemos interactuar directamente- y cosas abstractas -con las que interactuamos en nuestros cerebros-".

Según Cheng, "las matemáticas son abstractas pero una idea abstracta puede ser tan real como cualquier otra cosa... porque, de todos modos, ¿qué es real?".

¿Qué es real?

Por un lado, uno podría alegar que las matemáticas son la realidad.

Piensa, por ejemplo, en nuestra biología, que se basa en la química, que se rige esencialmente por las leyes de la física... y llegamos a los números.

O piensa en el cielo azul, que se explica por las longitudes de onda de la luz refractada... y todo eso es números.

Parecería que, si profundizas lo suficiente, la realidad física es matemática.

Sin embargo, las matemáticas no parecen poder decirnos nada significativo sobre algunas de las cosas más importantes de la vida, como el amor, el hambre o la moralidad.

Así que de todos los grandes interrogantes que tocamos, solo podemos responder uno con certeza: al principio dijimos que quizás no lograríamos encontrar respuestas definitivas a la pregunta que le envió a la BBC desde Perú Sergio Huarcaya.

Pues bien, ahora podemos decir con certeza que no lo logramos.

Pero valió la pena el intento.

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