Matemáticas y reformas sociales

Por Racso

La forma como han progresado las matemáticas en los relativo al número, nos señala la manera como deben llevarse a cabo las reformas sociales. Desde el punto de vista del número, el perfeccionamiento de las matemáticas ha consistido en crear, progresivamente, nuevos números, sin suprimir los que ya existían. El punto de partida de esta evolución matemática, fue el número entero positivo: 1,2,3,4, etc., llamado número natural; luego aparecieron las fracciones o quebrados: 1/2, 5/6, 9/10, etc., y los números negativos: -1 (menos uno), -20 (menos veinte), etc. Los números naturales, las fracciones y los números negativos forman un conjunto de números llamados números racionales. Luego se descubre que hay números que no son enteros, ni fracciones perfectas, como la raíz cuadrada de 2, por ejemplo, que resulta el límite de una sucesión infinita de cifras decimales, estos números que no pueden expresarse de manera definitiva y que sirven para medir aproximadamente, lo que no puede medirse de manera exacta, son los llamados números irracionales. Los números racionales y los irracionales reunidos constituyen un grupo de número llamados números reales.

Mas no para aquí la cosa: el concepto de número se generaliza aún más hasta comprender en su seno a un número que no es un número real y que, por eso, se le ha llamado número imaginario. El número imaginario es la raíz par de un número negativo; el ejemplo clásico de este número es la raíz cuadrada de -1. El símbolo con el cual se representa el número imaginario, que es solo una raíz indicada por ser imposible de hallar, es la letra i, empleándose con el mismo fin la letra j, cuando se trata de cálculos relativos a las corrientes eléctricas.

Pues bien, la generalización extensiva del concepto del número que partiendo del número natural llegó al número imaginario, no se produjo por capricho sino por razones de orden utilitario y por motivos teóricos. Así, las fracciones nacen impuestas por la necesidad de medir longitudes, superficies y pesos, que no podían medirse con números enteros. Se desea saber qué altura tiene una mesa; la medimos con un metro, pero la mesa es más alta que el metro y menos alta que dos metros; entonces nos vemos obligados a emplear, para medirla, un metro y un pedazo, una fracción de metro, descubriendo que la mesa tiene 1 metro 47 centímetros de alto. Y lo mismo ocurre con los pesos: muchas cosas pesan más o menos de un kilo, en ambos casos hay que emplear el kilo, número entero, y una fracción de kilo, número fraccionario que se expresa en gramos.

Vemos que las fracciones o los quebrados aparecen impuestos por las necesidades prácticas de la medida, pues su origen es la utilidad de disponer de números fraccionarios para medir las cosas. En cambio, los números negativos surgen obedeciendo a razones de orden teórico. En efecto, el fundamento de la necesidad de la existencia de número negativos es de naturaleza operatoria: posibilitar que se cumpla la ley conmutativa tratándose de la resta. Esta ley expresa que se puede modificar el orden de los elementos que intervienen en la adición y en la multiplicación sin modificar el resultado, cosa que en efecto sucede; pues 2 más 5 es 7 y 5 más 2 es, también 7, y 4 por 3 es 12 y 3 por 4, es, igualmente 12. Más tratándose de la resta solo funcionaba la ley conmutativa cuando el minuendo era mayor que el sustraendo: 10 menos 5 es igual a 5, pero 5 menos 10 planteaba una resta que no tenía sentido cuando se hacía con números positivos. La ley conmutativa sufría, pue, una restricción, no podía aplicarse a la resta, sino dentro de cierta limitación insalvable: que el minuendo fuera mayor que el sustraendo. Para que esa ley resultara, realmente general en su funcionamiento, se creó el número negativo, pues con él se cumple la ley y 10 menos 5 es 5 y 5 menos 10 es siempre 5 pero con signo contrario, es decir, -5.

De manera análoga, los números irracionales y el número imaginario son el resultado de exigencias teóricas de las matemáticas, pues se necesitan para resolver ecuaciones cuadráticas que sin esos números quedarían sin solución, y para generalizar el funcionamiento de la extracción de raíces porque solo con el número imaginario se puede operar con la raíz cuadrada de los números negativos.

Utilidad y racionalidad; necesidad práctica de la vida y exigencia de principios teóricos; tales son los fundamentos del progreso en la evolución del concepto del número. A ellos se agrega otro carácter de la reforma matemática: lo nuevo no destruye lo viejo, y junto al número natural, el primero que existió desde los comienzos de la aritmética, conviven los números racionales, los irracionales y los imaginarios, y la letra I se asocia con el 5 o la fracción ¾, o cualquier número real, cuando es necesario operar con todos ellos juntos, como ocurre con los números complejos.

Utilidad, racionalidad y persistencia de los anterior junto a lo nuevo, he aquí, los principios rectores de la evolución matemática del número.

Enseñanzas de la evolución del número

La evolución del concepto del número se presta a reflexiones que revisten real importancia para la sociología y la política, porque demuestran en qué consiste el verdadero progreso y la manera como deben llevarse a cabo las reformas sociales.

Utilidad, racionalidad y persistencia de lo viejo junto a lo nuevo, son, como acabamos de ver, los fundamentos del progreso matemático del número; aplicando esta norma al progreso social hallaremos que las reformas sociales solo serán convenientes cuando sean útiles, racionales y se hagan por evolución y no por revolución, para no destruir lo bueno que pueda haber en el orden tradicional.

En el mundo sociológico el concepto de lo útil es muy vasto porque sus raíces se hunden en la axiología, fuente común de las corrientes contradictorias y de las reformas más diversas. Pero prescindiendo de discrepancias ajenas a una estimativa radical acerca de la organización política de los pueblos, no cabe duda que en las democracias existe un criterio cuantitativo que permite juzgar del grado de utilidad de toda reforma: el número de seres humanos a quienes beneficia. Es en el fondo, el principio ético kantiano aplicado al progreso social: el hombre debe proceder en tal forma que sus actos puedan convertirse en normas de conducta universal; de modo análogo las reformas colectivas solo son buenas y legítimas cuando sus beneficios resultan aprovechables, universalmente, por todos los habitantes del país.

Esta universalidad de la reforma colectiva en cuanto al aprovechamiento de sus beneficios, propia del verdadero progreso social, es criterio seguro de su justicia y expresión cierta de su legitimidad; cuando falta, es signo de tiranía o síntoma de error. Por eso la democracia supera a los regímenes aristocráticos y dictatoriales, porque en estos las reformas apuntan, directamente, a la utilidad de determinados grupos humanos, al de los nobles, en las monarquías, y al de los jefes de partido único, en los sistemas totalitarios: comunismo, fascismo, nazismo, con exclusión de las demás personas que viven en la nación.

Universalidad del beneficio: tal es la base de una reforma social realmente útil y necesaria. Solo cuando la innovación produce el mejoramiento material o moral del medio colectivo, sin excepciones ni privilegios, es deseable y justa y origina un verdadero progreso en los pueblos.

Además, las reformas sociales para conformarse a las enseñanzas que nos ofrece la extensión del número, deben llevarse a cabo como evolución y no como revolución; como cambio que amplía y perfecciona lo existente, y no como súbito estallido que destruye lo habitual y erige sobre sus ruinas novedades inusitadas e incompatibles con lo anterior.

En matemáticas la continuidad de la obra es la condición primaria del buen éxito, y cuando la idea del número extiende su contenido y surgen las fracciones y los números negativos, irracionales e imaginarios, no desaparecen los números naturales, subsisten como elementos importantes del cálculo, sin perder sus prerrogativas aritméticas, ni su condición de símbolos básicos de un sistema numérico perdurable. Porque el verdadero progreso es una adquisición y no un simple reemplazo, una ganancia que aumenta el capital primitivo, porque al adquirir monedas nuevas conserva las viejas.

Los estadistas y políticos olvidan con frecuencia esa verdad y las reformas que preconizan al ser iconoclastas son retrocesos, porque con lo tradicional que destruyen desaparecen las condiciones racionales de todo progreso conveniente y estable. Solo lo viejo que se opone a una reforma útil y necesaria, deber ser suprimido, pero lo habitual aprovechable debe conservarse como apoyo del progreso que se anhela. Esta actitud científica integralista acabaría con el prejuicio de derechas e izquierdas consideradas como términos extremos de una estimativa política y económica antagónica y radicalmente inconciliable, porque en la evolución por continuidad, respetando la reforma lo que había de bueno en lo viejo y utilizándolo como sustentáculo parcial de lo nuevo resultan conciliados la tradición y el progreso en una armonía superior y fecunda. Porque no hay derechista tan tozudo que no acepte reformas que respeten lo que había de respetable en su credo, ni izquierdista de buena fe que por el triunfo de sus ideales no transija con ciertas supervivencias de lo tradicional que no se oponen a ese triunfo, y que, en el fondo, no eran malas.

Tales son las conclusiones que pueden deducirse de la historia de la extensión del concepto del número aplicables a las reformas sociales. ¡Maravillas de las matemáticas, ciencia tan fecunda que aprisiona con la exactitud de sus fórmulas el conocimiento del mundo físico y permite descubrir normas del progreso para el mundo social!