La paradoja del cumpleaños en el Mundial de Fútbol

Imaginemos la siguiente escena en el hotel de la selección brasileña: Hulk y Paulinho se relajan tras una victoria y hablan de los planes para después del Mundial. "Habrá una fiesta tras otra", dice Hulk, asumiendo la victoria del país anfitrión. "Primero la Copa del Mundo, luego mi cumpleaños un par de semanas después".

"¿Tu cumpleaños es en julio?", pregunta Paulinho. "El mío también, el 25".

"¡Exactamente el mismo día"!", exclama Hulk, incrédulo. "¿Qué posibilidades hay de esa concidencia?"

Con 365 días en un año normal, la respuesta intuitiva de la mayoría de la gente sería probablemente "bastante pequeña".

Pero en este caso la intuición se equivoca, y la prueba de eso es lo que se conoce como paradoja del cumpleaños.

"Es uno de los grandes éxitos de las matemáticas", dice Alex Bellos, autor del libro "Cómo la vida refleja los números y los números reflejan la vida".

En su más famosa formulación, la paradoja del cumpleaños sostiene que solo hace falta un grupo de 23 personas para que haya más de 50% de probabilidades de que dos de ellas cumplan años el mismo día (día y mes, no año de nacimiento).

Bellos señala que no es una paradoja lógica: no hay nada contradictorio en ella, es solo inesperada.

"La gente suele pensar que es una coincidencia increíble que dos personas en una clase de 30 compartan el mismo día de cumpleaños", dice el escritor experto en matemáticas. "Pero de hecho, con 30 personas, la posibilidad es del 70%".

Consideremos por ejemplo las redes sociales: si tienes 70 amigos, habrá 99.9% de probabilidades de que al menos dos de ellos cumplan el mismo día. Pero quizás el ámbito ideal para poner esto a prueba es el Mundial: hay 32 equipos, cada uno con 23 jugadores. Si la paradoja es cierta, el 50% de las escuadras deberían tener cumpleaños compartidos.

Usando las fechas de nacimiento de la lista oficial de equipos de la FIFA, resulta que efectivamente 16 equipos tienen al menos un cumpleaños compartido, el 50% del total.

Cinco de ellos, de hecho, tienen dos pares de coincidencias de cumpleaños.

La lista es: España, Colombia, Suiza (x2), Estados Unidos, Irán (x2), Francia (x2), Argentina (x2), Corea del Sur (x2), Camerún, Australia, Bosnia Herzegovina, Rusia, Holanda, Brasil, Honduras y Nigeria.

Uno de los pares de Argentina, Fernando Gago y Augusto Fernández, comparte la misma fecha de nacimiento: 10 de abril de 1986. Y algunos de los dúos celebrarán sus cumpleaños durante la competición.

El próximo viernes 20 de junio, Asmir Begovic y Sead Kolasinac de Bosnia Herzegovina compartirán cumpleaños, aunque probablemente tengan una celebración tranquila pensando en el partido ante Nigeria que les espera al día siguiente.

Luego, el 8 de julio, el día de la primera semifinal, los surcoreanos Kwak Tae-hwi y Son Heung-min marcarán un año más en el calendario.

En la Copa del Mundo del 2010, el equipo de Argelia tuvo tres jugadores con el mismo día de aniversario: 5 de diciembre. En esta ocasión, ningún equipo alcanza eso, pero Brasil 2014 podría tener el cumpleaños compartido más raro.

Imaginemos que Alemania clasifica como primero del grupo G y Argelia como segundo del grupo H. El 30 de junio se enfrentarían en octavos de final.

Si eso sucede, habrá que estar atentos a las miradas desde el banquillo o a un saludo más cordial de lo habitual entre Benedikt Howedes de Alemania y Saphir Taider de Argelia.

Ellos coinciden en que solo pueden celebrar su cumpleaños verdadero cada cuatro años, porque nacieron el 29 de febrero. En este punto, puede que los aficionados a la estadística tengan algunas preguntas.

¿Quizás el tamaño de la muestra sea demasiado pequeño para demostrar la paradoja de forma convincente?

Podemos responder a eso añadiendo también a los equipos de Sudáfrica 2010. Así se consiguen otros 15 cumpleaños compartidos, lo que supone 31 de 64 escuadras de los dos mundiales, bastante cerca al 50%.

La explicación

Hay una explicación simple de las matemáticas detrás de la paradoja del cumpleaños. Imagina que entras a una habitación con 22 personas, ninguna de las cuales comparte el día de cumpleaños. Las probabilidades de que tu fecha de cumpleaños sea única es bastante alta: hay sólo 22 días "tomados" por los otros, y 343 días libres.

Esta puede ser una de las razones por las que esta paradoja se percibe como contraintuitiva.
Tendemos a mirar problemas como estos desde nuestra propia perspectiva individual, y para cualquier individuo la posibilidad de compartir un cumpleaños es baja.

Pero analicemos las probabilidades de que todos en ese grupo de 23 tengan un cumpleaños único:

Para la persona 1, las chances son del 100%, porque todas las fechas están libres. Para la persona 2, hay un día que deberá compartir con la persona 1, pero las otras 364 están libres, así que sus posibilidades de una fecha única son 364 en 365. Para la persona 3 son 363 en 365, y así hasta la persona 23, cuyas posibilidades de tener un cumpleaños único son 343 en 365.

Para averiguar la probabilidad de que todos en el grupo tengan un cumpleaños individual, multiplicamos todas esas chances juntas y obtenemos una probabilidad de 0,491.

Por lo tanto, la chance de que haya un cumpleaños compartido es 0,509, es decir, 50,9%.

Pero si esa es la probabilidad de que dos personas cualquiera en un grupo compartan cumpleaños, ¿qué hay de la probabilidad de que tú compartas el día y mes de nacimiento con al menos otra persona en un grupo?

Para que sea mayor del 50%, necesitarás un grupo de 253 personas. Quizás tus amigos en las redes sociales sean la mejor manera de observarlo.

Una teoría polémica

Los resultados de observación de los dos mundiales nos dan algo parecido a lo que esperable si los cumpleaños fueran distribuidos al azar, pero hay una teoría que circula entre los círculos deportivos sobre si esto es cierto en un grupo como este.

La teoría es que en los deportes, hay ventajas para los que cumplen justo después de la fecha límite de edad para las clases en la escuela o para la selección de un equipo.

Cuando eres joven, si tu cumpleaños es justo después de esa fecha, serás el mayor y el más desarrollado físicamente de ese grupo. Esta ventaja natural hace que sea más probable que ingreses en un equipo deportivo y que tengas un mejor desempeño.

Es una idea complicada y polémica. En el 2006 Steven Levitt y Stephen Dubner, autores del libro Freakonomics, propusieron que habría más personas nacidas en los primeros meses del año en el Mundial de Alemania.

Y se basaban en la decisión de 1997 de la FIFA de señalar el 1 de enero como fecha límite para fijar la edad de los jugadores en las competiciones internacionales de fútbol.

Pero Levitt se retractó después de que alguien analizara los torneos anteriores a 2006 y observara que eso no se cumplía.

El economista sugirió entonces que la fecha que marca los límites de edad en las competiciones domésticas puede variar entre los distintos países, entrando en conflicto con la fecha de la FIFA y complicando el efecto.

Para los jugadores de Brasil 2014, los cuatro meses con más cumpleaños son enero (71), febrero (77), marzo (68) y mayo (72). Todos están por encima de los 61 cumpleaños por mes que se esperarían si estuvieran distribuidos de forma uniforme.

Y los meses con menos cumpleaños son todos de la segunda mitad del año: agosto (57), octubre (46), noviembre (49) y diciembre (51).

Los datos del 2010 muestran lo mismo: encima del promedio la primera parte del año, debajo del promedio la segunda.

Esta es solo una rápida mirada a las cifras y no un análisis definitivo, pero al menos sugiere que la teoría de que los jugadores del Mundial tienden a cumplir años en la primera mitad del año no está del todo enterrada.

Y la próxima vez que estés en una clase, una fiesta, o jugando al fútbol puedes hacer tu propio experimento: al menos la mitad de las veces deberías encontrar un cumpleaños compartido.